[for FRM1 & CFA1] 关于 Kurtosis 的一点思考

最近在复习 FRM，看到 Handbook P32 Fig 2.4 和 Example 2.1 有一种很颠覆的感觉。我还清楚地记得当年考 CFA 一级的时候学到的"leptokurtic 对应尖峰和厚尾"，但是 Handbook P32 Fig 2.4 + Example 2.1 给人的感觉却是 platykurtic 对应尖峰。后来查找了一些文献，终于把这个问题搞清楚了。希望能帮助到有同样困惑的同学：

对于对称、单峰分布，只有在方差相同的情况下，才能通过比较 kurtosis 大小来判断峰、尾形态的差异，否则 kurtosis 大小跟峰、尾形态没有必然联系。比如对正态分布 N(0, sigma)，通过调节 sigma 的大小可以得到一系列峰、尾形态的分布，但是这些分布的 kurtosis 都一样。

有一些初级甚至高级的统计教材都犯过这种错误，那就是把不同方差的分布拿来比较 kurtosis 来判断峰、尾性质，这样会得到错误的结果。比如对于 t 分布，当其自由度 n 大于等于 5 时，其超额 kurtosis 为6/(n-4)，有些书上就会把不同自由度的 t 分布画在同一个坐标系下，得出随着自由度下降 (kurtosis 变大) ，t 分布越来越平坦，尾部越来越厚的结论。而我们都知道，相同方差下 t 分布较正态分布的峰更尖、尾更厚，只有当自由度趋近于无穷时，t 分布才趋近于正态分布。

在方差相同的情况下，kurtosis 越大，大致表明：
1) 尾越厚，或者
2) 峰越尖，或者
3) 两者兼具
通常情况下 1) 是主要效果。用"大致表明"，是因为这里并没有在数学上严格定义什么是厚尾、什么是尖峰，仅仅是基于直观。

我找了一些典型的厚尾分布 (如 t 分布和 Lapalace 分布)，考察他们同方差时和正态分布峰尾形态的差异
t 分布：自由度 n=5，均值 0，方差 5/3，kurtosis=9
Laplace 分布：均值 0，方差 5/3，kurtosis=9
正态分布：均值 0，方差 5/3，kurtosis=3